拓扑空间是为了定向研究一类数学问题而给出来的一个抽象而且广义的一个数学定义。其定义的公理主要是想构造一个抽象的逻辑能够更好的描述连续的变化，或者说连续的映射。为了摆脱“连续”的概念对“距离”概念的依赖， 拓扑空间的一般定义，是通过集合的表述来表达的。
定义研究对象
描述拓扑空间时，首先需要确定的是研究对象。一开始我们需要有一个整体上研究对象的集合。例如，如果是研究3维空间的问题，那么定义拓扑空间时，通常就是对整个3维空间的点集所定义的。无论整么样，在定义一个拓扑空间时，我们需要有一个研究对象的总集合，这个集合中存在至少一个单位元素。我们假设这个集合为X。
定义邻域
对于集合X我们定义一种规则。对于X集合内的每一个单位元素x，按照这个规则能够从X集合中找出该单位元素所有的一组子集。而且这组子集都是这个点的邻域。
只要满足以下4个规则的子集，都叫做x的邻域：
- x在自己的每一个邻域里。
- x的任何两个领域的交集也在这一组邻域里。
- 如果N是x的邻域，U为X的子集，而N包含于U，则U也在x的这一组邻域里。
- 如果N是x的邻域，Ni表示一个这样的集合：{z属于N|N是z的邻域}，则Ni也是x的邻域。（Ni也叫做N的内部）（这一条定义也可以理解为，如果Ni是N中排除所有边界点后剩下的点的集合，则Ni也是x的邻域。然后我们通过如下方式来定义N的边界点：该点虽然属于N，但N不是该点的邻域）
于是，拓扑空间就是，有研究对象的集合，而且给这个组研究对象中每一个单位元素定义了邻域。这样的一个结构，就叫做拓扑空间。